3. Тип 9 № 788. Постройте график функции \(y=3-\frac{x+5}{x^2+5x}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком ни одной общей точки.

Область определения: \(x\ne0\) и \(x\ne-5\), поскольку \(x^2+5x=x(x+5)\).

При допустимых \(x\):

\[y=3-\frac{x+5}{x(x+5)}=3-\frac1x.\]

Это график \(y=3-\frac1x\) с вертикальной асимптотой \(x=0\), горизонтальной асимптотой \(y=3\) и выколотой точкой при \(x=-5\). Значение функции в этой точке было бы \(3-\frac1{-5}=\frac{16}{5}\).

Уравнение пересечения с прямой \(y=m\): \(m=3-\frac1x\). При \(m\ne3\) оно задаёт единственное значение \(x=\frac1{3-m}\), но значение \(m=\frac{16}{5}\) соответствует запрещённому \(x=-5\). При \(m=3\) решения также нет. Следовательно, горизонтальная прямая не пересекает график при этих двух значениях.

Ответ: \(m=3\) или \(m=\frac{16}{5}\).