2. Тип 9 № 787. Постройте график функции \(y=\frac{1-2x}{2x^2-x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\) и \(x\ne\frac12\), так как знаменатель равен \(x(2x-1)\).

Сокращаем общий множитель при допустимых значениях \(x\):

\[y=\frac{-(2x-1)}{x(2x-1)}=-\frac1x.\]

График — гипербола \(y=-\frac1x\) с выколотой точкой \((\frac12,-2)\); при \(x=0\) вертикальная асимптота.

Пересечения с прямой \(y=kx\) задаются равенством \(-\frac1x=kx\), откуда \(kx^2=-1\). При \(k<0\) есть две точки, кроме случая, когда одна из них совпадает с выколотой точкой. Для неё \(k=-\frac1{(1/2)^2}=-4\); тогда остаётся ровно одна общая точка. При \(k\ge0\) пересечений нет.

Ответ: \(k=-4\).