1. Точка M лежит на отрезке AB. Отрезок AB пересекается с плоскостью α в точке B. Через A и M проведены параллельные прямые, пересекающие α в точках A₁ и M₁. а) Докажите, что A₁, M₁ и B лежат на одной прямой. б) Найдите длину отрезка AB, если AA₁ : MM₁ = 3 : 2, AM = 6.

а) Пусть β — плоскость, проходящая через прямую AB и прямые AA₁ и MM₁. Она содержит точки A, M, B, A₁ и M₁, поскольку AA₁ ∥ MM₁. Плоскости α и β пересекаются по прямой, проходящей через B и A₁. Так как M₁ принадлежит α и β, то M₁ лежит на этой же прямой. Следовательно, A₁, M₁ и B коллинеарны.

б) Прямые AA₁ и MM₁ параллельны, а точки A, M, B и A₁, M₁, B лежат на двух пересекающихся прямых. По теореме Фалеса соответствующие отрезки пропорциональны:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MM_1}{AA_1}=\dfrac{2}{3}\).

Тогда \(AB=AM\cdot\dfrac{3}{2}=6\cdot\dfrac{3}{2}=9\).

Ответ: 9.