1. Точка M не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и MC, параллельна плоскости прямоугольника.

Обозначим середины отрезков MA и MC через P и Q соответственно. Рассмотрим треугольник MAC.

По теореме о средней линии треугольника прямая PQ параллельна стороне AC: PQ ∥ AC.

Диагональ AC лежит в плоскости прямоугольника ABCD. При этом PQ не лежит в этой плоскости: точки P и Q принадлежат плоскости MAC, а её пересечение с плоскостью ABCD — прямая AC; середины P и Q не лежат на AC, поскольку M не принадлежит плоскости ABCD.

Следовательно, прямая PQ параллельна прямой AC, лежащей в плоскости ABCD, и сама не принадлежит этой плоскости. Значит, PQ параллельна плоскости прямоугольника ABCD.

Ответ: прямая, соединяющая середины MA и MC, параллельна плоскости ABCD.