№ 1. Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M, K — середины отрезков AB, BC, CD и AD — соответственно. а) Докажите, что EFMK — параллелограмм. б) Найдите периметр EFMK, если AC = 6 см, BD = 8 см.

а) В треугольнике ABC точки E и F — середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии треугольника EF ∥ AC и EF = AC/2.

В треугольнике ADC точки K и M — середины сторон AD и DC, поэтому KM ∥ AC и KM = AC/2. Следовательно, EF ∥ KM и EF = KM.

Четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон равна и параллельна, — параллелограмм. Значит, EFMK — параллелограмм.

б) В треугольнике BCD отрезок FM — средняя линия, поэтому FM = BD/2 = 8/2 = 4 см. Также EF = AC/2 = 6/2 = 3 см.

Периметр параллелограмма: P = 2(EF + FM) = 2(3 + 4) = 14 см.

Ответ: 14 см.