1. Точки A и B лежат соответственно на сторонах NK и KP трапеции MNKP так, что NA = AK, 2KB = BP. Выразите векторы MA, MB, AB через векторы a = MN, b = MP, если известно, что основание NK равно половине MP.

Основания трапеции — \(NK\) и \(MP\), поэтому они параллельны. По условию \(NK=\frac{1}{2}MP\), следовательно, \(\overrightarrow{NK}=\frac{1}{2}\vec b\).

Так как \(A\) — середина \(NK\), то

\[\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NA}=\vec a+\frac{1}{4}\vec b.\]

Точка \(B\) делит \(KP\) в отношении \(KB:BP=1:2\), поэтому \(\overrightarrow{KB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{KP}\).

Поскольку \(\overrightarrow{MK}=\vec a+\frac{1}{2}\vec b\), имеем

\[\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MK}=\frac{1}{2}\vec b-\vec a.\]

Тогда

\[\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB}=\vec a+\frac{1}{2}\vec b+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\vec b-\vec a\right)=\frac{2}{3}\vec a+\frac{2}{3}\vec b.\]

Наконец,

\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\frac{1}{3}\vec a+\frac{5}{12}\vec b.\]

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\vec a+\frac{1}{4}\vec b\), \(\overrightarrow{MB}=\frac{2}{3}\vec a+\frac{2}{3}\vec b\), \(\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\vec a+\frac{5}{12}\vec b\).