3. Точки P и E лежат соответственно на сторонах BC и DC параллелограмма ABCD так, что BP = PC и DE : EC = 1 : 2. Выразите через векторы m = AB, n = AD векторы AP, AE, DP, BE, PE.

Question

Вопрос:

Фото задания

3. Точки P и E лежат соответственно на сторонах BC и DC параллелограмма ABCD так, что BP = PC и DE : EC = 1 : 2. Выразите через векторы m = AB, n = AD векторы AP, AE, DP, BE, PE.

Accepted Answer

В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\vec n\), \(\overrightarrow{DC}=\vec m\).

Так как \(P\) — середина \(BC\), то \(\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\vec n\).

\[\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\vec m+\frac{1}{2}\vec n.\]

Из условия \(DE:EC=1:2\) следует, что \(\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\vec m\).

\[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\vec n+\frac{1}{3}\vec m.\]

Остальные векторы:

\[\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AP}=\vec m-\frac{1}{2}\vec n;\]

\[\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\vec n-\frac{2}{3}\vec m;\]

\[\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\vec n-\frac{2}{3}\vec m.\]

Ответ: \(\overrightarrow{AP}=\vec m+\frac{1}{2}\vec n\), \(\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\vec m+\vec n\), \(\overrightarrow{DP}=\vec m-\frac{1}{2}\vec n\), \(\overrightarrow{BE}=\vec n-\frac{2}{3}\vec m\), \(\overrightarrow{PE}=\frac{1}{2}\vec n-\frac{2}{3}\vec m\).