1. Точки K и M лежат соответственно на сторонах AB и CD параллелограмма ABCD; AK = KB, CM : MD = 2 : 5. Выразите вектор $$\vec{KM}$$ через векторы $$\vec{p} = \vec{AB}$$ и $$\vec{q} = \vec{AD}$$.

Решение:
1. Так как AK = KB, то $$\vec{AK} = \frac{1}{2} \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{p}$$.
2. Так как CM : MD = 2 : 5, то CM = \(\frac{2}{7}\)CD. Следовательно, $$\vec{CM} = \frac{2}{7} \vec{CD} = \frac{2}{7} \vec{AB} = \frac{2}{7} \vec{p}$$.
3. Используем правило обхода контура: $$\vec{KM} = \vec{KA} + \vec{AD} + \vec{DM}$$.
4. $$\vec{KA} = -\vec{AK} = -\frac{1}{2} \vec{p}$$.
5. $$\vec{AD} = \vec{q}$$.
6. $$\vec{DM} = \frac{5}{7} \vec{DC} = -\frac{5}{7}\vec{CM}$$. Так как \(\vec{DC}\) = \(\vec{AB}\), то $$\vec{DM} = \frac{5}{7} \vec{DC} = \frac{5}{7} \vec{p}$$.
7. Подставляем в выражение для $$\vec{KM}$$: $$\vec{KM} = -\frac{1}{2} \vec{p} + \vec{q} + \frac{5}{7} \vec{p} = (-\frac{1}{2} + \frac{5}{7}) \vec{p} + \vec{q} = (-\frac{7}{14} + \frac{10}{14}) \vec{p} + \vec{q} = \frac{3}{14} \vec{p} + \vec{q}$$.

Ответ: $$\vec{KM} = \frac{3}{14} \vec{p} + \vec{q}$$.