3. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см, средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции.

Решение:
1. Пусть $$a$$ и $$b$$ - основания трапеции. Тогда средняя линия равна $$\frac{a+b}{2}$$.
2. По условию, средняя линия равна 6 см, поэтому $$\frac{a+b}{2} = 6$$, откуда $$a+b = 12$$.
3. Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон является высотой. Пусть $$h = 15$$ см.
4. Проведём высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 17 см и катетом 15 см.
5. Второй катет этого треугольника равен разности оснований: $$|a - b|$$. По теореме Пифагора: $$17^2 = 15^2 + (a - b)^2$$.
6. Тогда $$(a - b)^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$$. Значит, $$|a - b| = \sqrt{64} = 8$$.
7. Имеем систему уравнений:
$$\begin{cases}
a + b = 12 \\
a - b = 8
\end{cases}$$
8. Сложим уравнения: $$2a = 20$$, откуда $$a = 10$$.
9. Тогда $$b = 12 - a = 12 - 10 = 2$$.

Ответ: Основания трапеции равны 10 см и 2 см.