1. Трапеция ABCD (AD и BC — основания) расположена вне плоскости α. Диагонали трапеции параллельны плоскости α. Через точки A и B проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α соответственно в точках E и F. Докажите, что EABF — параллелограмм.

Обозначим через π плоскость трапеции ABCD. Диагонали AC и BD лежат в π и параллельны плоскости α. Поскольку π и α различны, из этого следует, что π ∥ α.

Прямые AE и BF параллельны по условию и проходят через точки плоскости π, значит, они лежат в π. Поэтому AE ∥ BF.

Плоскости π и α параллельны. Параллельный перенос из π в α вдоль направления AE переводит A в E, а B — в F: для обеих точек перенос задан прямыми, параллельными AE. Следовательно, отрезок AB переходит в EF, откуда AB ∥ EF.

В четырёхугольнике EABF обе пары противоположных сторон параллельны: EA ∥ BF и AB ∥ EF. Значит, EABF — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.