3. Все грани параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольники, AD = 4, DC = 8, CC₁ = 6. Через середину DC параллельно плоскости AB₁C₁ проведена плоскость. Найдите периметр сечения.

Введём координаты: D(0, 0, 0), C(8, 0, 0), A(0, 4, 0), B(8, 4, 0). Верхние вершины получаются добавлением высоты 6: D₁(0, 0, 6), C₁(8, 0, 6), A₁(0, 4, 6), B₁(8, 4, 6).

Плоскость AB₁C₁ содержит векторы AB₁ = (8, 0, 6) и AC₁ = (8, −4, 6). Их векторное произведение можно взять равным (3, 0, −4), поэтому у плоскости нормаль (3, 0, −4). Её уравнение, поскольку она проходит через A(0, 4, 0), имеет вид 3x − 4z + 16 = 0.

Середина DC — точка M(4, 0, 0). Параллельная плоскость через M имеет уравнение 3x − 4z − 12 = 0.

На нижнем основании z = 0, значит, x = 4. Плоскость пересекает основание по отрезку, параллельному AD, длиной 4. На верхнем основании z = 6, откуда x = 12; эта точка за пределами параллелепипеда, поэтому сечение не имеет стороны на верхнем основании. Вместо этого найдём пересечения с боковыми гранями: при x = 8 получаем z = 3; при y = 4 получаем тот же след по соответствующему ребру. Сечение — параллелограмм, стороны которого равны 4 и длине отрезка с приращениями Δx = 4, Δz = 3, то есть 5.

Периметр: P = 2(4 + 5) = 18.

Ответ: 18.