№1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Обозначим меньшую сторону через \(b=8\) см, а большую — через \(a\). Пусть \(\alpha\) — угол между диагональю и большей стороной. Диагонали прямоугольника симметричны относительно большей стороны, поэтому острый угол между ними равен \(2\alpha\).

\(2\alpha=60^\circ\), значит, \(\alpha=30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами и диагональю, \(\tan\alpha=\frac{b}{a}\). Тогда \(\tan30^\circ=\frac{8}{a}\), откуда \(a=8\sqrt3\) см.

По теореме Пифагора диагональ \(d\) равна: \(d=\sqrt{8^2+(8\sqrt3)^2}=\sqrt{64+192}=16\) см.

Ответ: 16 см.