№4. На стороне BC квадрата ABCD отметили точку K так, что AK = 2BK. Найдите ∠KAD.

Пусть сторона квадрата равна \(a\), а \(BK=x\). Поскольку \(AB\perp BC\), треугольник \(ABK\) прямоугольный. По теореме Пифагора и условию:

\(AK^2=a^2+x^2\), а \(AK=2x\). Следовательно, \(4x^2=a^2+x^2\), откуда \(a^2=3x^2\) и \(\frac{a}{x}=\sqrt3\).

Угол \(KAD\) дополняет угол между \(AK\) и \(AB\) до \(90^\circ\), так как \(AB\perp AD\). Для угла между \(AK\) и \(AB\) тангенс равен \(\frac{BK}{AB}=\frac{x}{a}=\frac1{\sqrt3}\), значит, этот угол равен \(30^\circ\).

Поэтому \(\angle KAD=90^\circ-30^\circ=60^\circ\).

Ответ: 60°.