1. Укажите решение неравенства 81x ≤ 27x²

Решение:

Перенесем все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить ноль в другой:

\[ 81x - 27x^2 \leq 0 \]

Вынесем общий множитель (27x) за скобки:

\[ 27x (3 - x) \leq 0 \]

Найдем корни уравнения 27x(3 - x) = 0:

• 27x = 0 => x = 0
• 3 - x = 0 => x = 3

Теперь определим знаки интервалов на числовой прямой, используя эти корни. Числовая прямая разбивается на три интервала: ​(-\infty; 0], [0; 3], [3; +\infty).

Возьмем тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала (-\infty; 0), например, x = -1: 27(-1)(3 - (-1)) = -27 * 4 = -108. Результат отрицательный (≤ 0).
• Для интервала (0; 3), например, x = 1: 27(1)(3 - 1) = 27 * 2 = 54. Результат положительный (> 0).
• Для интервала (3; +\infty), например, x = 4: 27(4)(3 - 4) = 108 * (-1) = -108. Результат отрицательный (≤ 0).

Нам нужно найти интервалы, где неравенство выполняется (≤ 0). Это интервалы (-\infty; 0] и [3; +\infty).

Ответ: 4) ​(-\infty; 0] ∪ [3; +\infty)