1) Упростить: а) \(\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[6]{2}+(\sqrt[5]{5})^{10}\); б) \(\dfrac{1-x^{3/7}}{1+x^{1/14}}+(1+x^{1/42})(1-x^{1/42}+x^{1/21})\).

а) Складываем показатели степеней в произведении корней:

\(\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[6]{2}=2^{1/2+1/3+1/6}=2^1=2.\)

\((\sqrt[5]{5})^{10}=5^{10/5}=5^2=25.\)

Итак, \(2+25=27\).

б) Во втором произведении применяем формулу \((1+a)(1-a+a^2)=1+a^3\), где \(a=x^{1/42}\):

\((1+x^{1/42})(1-x^{1/42}+x^{1/21})=1+x^{3/42}=1+x^{1/14}.\)

Так как \(x^{3/7}=(x^{1/14})^6\), при допустимых значениях выражение равно \(\dfrac{1-(x^{1/14})^6}{1+x^{1/14}}+1+x^{1/14}\). Используем разложение \(1-y^6=(1-y)(1+y)(1+y^2+y^4)\):

\((1-x^{1/14})(1+x^{1/7}+x^{2/7})+1+x^{1/14}=2+x^{1/7}+x^{2/7}-x^{3/14}-x^{5/14}-x^{9/14}.\)

Здесь предполагаются действительные степени при \(x\ge 0\); знаменатель \(1+x^{1/14}\) не равен нулю.

Ответ: а) 27; б) \(2+x^{1/7}+x^{2/7}-x^{3/14}-x^{5/14}-x^{9/14}\).