Решите уравнения: а) \(\sqrt[3]{3x-1}=-5\); б) \(\sqrt{3x-1}=-5\); в) \(\sqrt{3x-1}=5\); г) \(\sqrt{3x-1}=\sqrt{x^2+x-4}\); д) \(\sqrt{3x-1}=1-3x\); е) \(\sqrt{3x+1}=x-3\).

а) Возводим обе части в куб: \(3x-1=-125\), поэтому \(x=-\dfrac{124}{3}\).

б) Квадратный корень неотрицателен, поэтому равенство с \(-5\) решений не имеет.

в) Область определения: \(x\ge\dfrac13\). Возводим в квадрат: \(3x-1=25\), откуда \(x=\dfrac{26}{3}\). Корень удовлетворяет условию.

г) Требуются условия \(3x-1\ge0\) и \(x^2+x-4\ge0\). Возводим в квадрат: \(3x-1=x^2+x-4\), то есть \((x-3)(x+1)=0\). Из корней \(3\) и \(-1\) условиям задачи удовлетворяет только \(x=3\).

д) Левая часть неотрицательна, значит, необходимо \(1-3x\ge0\), то есть \(x\le\dfrac13\). Область определения левой части требует \(x\ge\dfrac13\). Следовательно, возможно только \(x=\dfrac13\), и оно подходит.

е) Правая часть должна быть неотрицательной, значит, \(x\ge3\). Возводим в квадрат: \(3x+1=(x-3)^2\), откуда \(x^2-9x+8=0\), корни \(1\) и \(8\). Условию \(x\ge3\) соответствует только \(x=8\).

Ответ: а) \(-\dfrac{124}{3}\); б) решений нет; в) \(\dfrac{26}{3}\); г) 3; д) \(\dfrac13\); е) 8.