1. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right):\frac{12a^2}{4-a^2}$; 2) $\left(\frac{8x}{x-2}+2x\right):\frac{4x+8}{7x-14}$; 3) $\frac{5a}{a+3}+\frac{a-6}{3a+9}\cdot\frac{135}{6a-a^2}$; 4) $\left(\frac{3m}{m+5}-\frac{8m}{m^2+10m+25}\right):\frac{3m+7}{m^2-25}+\frac{5m-25}{m+5}$; 5) $\left(\frac{y^2}{x^3-xy^2}+\frac{1}{x+y}\right):\left(\frac{x-y}{x^2+xy}-\frac{x}{xy+y^2}\right)$; 6) $\left(\frac{a}{a-4}-\frac{a}{a+4}-\frac{a^2+16}{16-a^2}\right):\frac{4a+a^2}{(4-a)^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right):\frac{12a^2}{4-a^2}$; 2)…$ Фото задания

1. Упростите выражение: 1) $\left(\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}\right):\frac{12a^2}{4-a^2}$; 2) $\left(\frac{8x}{x-2}+2x\right):\frac{4x+8}{7x-14}$; 3) $\frac{5a}{a+3}+\frac{a-6}{3a+9}\cdot\frac{135}{6a-a^2}$; 4) $\left(\frac{3m}{m+5}-\frac{8m}{m^2+10m+25}\right):\frac{3m+7}{m^2-25}+\frac{5m-25}{m+5}$; 5) $\left(\frac{y^2}{x^3-xy^2}+\frac{1}{x+y}\right):\left(\frac{x-y}{x^2+xy}-\frac{x}{xy+y^2}\right)$; 6) $\left(\frac{a}{a-4}-\frac{a}{a+4}-\frac{a^2+16}{16-a^2}\right):\frac{4a+a^2}{(4-a)^2}$.

Accepted Answer

Сначала упростим разность:
$\frac{a-2}{a+2}-\frac{a+2}{a-2}=\frac{(a-2)^2-(a+2)^2}{a^2-4}=\frac{-8a}{a^2-4}.$
Деление заменяем умножением на обратную дробь:
$\frac{-8a}{a^2-4}\cdot\frac{4-a^2}{12a^2}=\frac{2}{3a}.$
Ограничения исходного выражения: $a\ne-2,0,2$.
$\frac{8x}{x-2}+2x=\frac{2x(x+2)}{x-2}$, а $\frac{4x+8}{7x-14}=\frac{4(x+2)}{7(x-2)}$.
$\frac{2x(x+2)}{x-2}:\frac{4(x+2)}{7(x-2)}=\frac{7x}{2}.$
Ограничения: $x\ne2,-2$, поскольку делитель не должен равняться нулю.
$3a+9=3(a+3)$, $6a-a^2=a(6-a)$. Поэтому
$\frac{a-6}{3(a+3)}\cdot\frac{135}{a(6-a)}=-\frac{45}{a}.$
Тогда
$\frac{5a}{a+3}-\frac{45}{a}=\frac{5a^2-45(a+3)}{a(a+3)}=\frac{5(a^2-9a-27)}{a(a+3)}.$
Ограничения: $a\ne-3,0,6$.
В первой скобке приведём дроби к общему знаменателю:
$\frac{3m}{m+5}-\frac{8m}{(m+5)^2}=\frac{m(3m+7)}{(m+5)^2}.$
Затем выполним деление и прибавим последнюю дробь:
$\frac{m(3m+7)}{(m+5)^2}:\frac{3m+7}{(m-5)(m+5)}+\frac{5(m-5)}{m+5}$
$=\frac{m(m-5)}{m+5}+\frac{5(m-5)}{m+5}=m-5.$
Ограничения: $m\ne-5,5,-\frac{7}{3}$.
Обозначим $Q=x^2-xy+y^2$. Первая скобка равна
$\frac{y^2}{x(x-y)(x+y)}+\frac{1}{x+y}=\frac{Q}{x(x-y)(x+y)}.$
Вторая скобка:
$\frac{x-y}{x(x+y)}-\frac{x}{y(x+y)}=-\frac{Q}{xy(x+y)}.$
Следовательно,
$\frac{Q}{x(x-y)(x+y)}:\left(-\frac{Q}{xy(x+y)}\right)=-\frac{y}{x-y}.$
Ограничения исходного выражения: $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne y$, $x\ne-y$.
В первой скобке
$\frac{a}{a-4}-\frac{a}{a+4}-\frac{a^2+16}{16-a^2}=\frac{8a+a^2+16}{a^2-16}=\frac{a+4}{a-4}.$
Тогда
$\frac{a+4}{a-4}:\frac{a(a+4)}{(a-4)^2}=\frac{a-4}{a}.$
Ограничения: $a\ne-4,0,4$.

Ответ: 1) $\frac{2}{3a}$; 2) $\frac{7x}{2}$; 3) $\frac{5(a^2-9a-27)}{a(a+3)}$; 4) $m-5$; 5) $-\frac{y}{x-y}$; 6) $\frac{a-4}{a}$. Указанные ограничения на переменные обязательны.