3. Найдите область определения функции: 1) $y=\sqrt{x^2+3x-40}$; 2) $y=\frac{x+2}{\sqrt{3x-12x^2}}$; 3) $y=\sqrt{x^2-4x-21}-\frac{6}{x^2-64}$; 4) $y=\frac{x-8}{\sqrt{5+19x-4x^2}}+\frac{x-4}{3x^2-x-4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Найдите область определения функции: 1) $y=\sqrt{x^2+3x-40}$; 2) $y=\frac{x+2}{\sqrt{3x-12x^2}}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x^2+3x-40=(x+8)(x-5)\ge0$.
Произведение неотрицательно при $x\le-8$ или $x\ge5$.
Корень находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:
$3x-12x^2=3x(1-4x)>0$.
Отсюда $0<x<\frac14$.
Для корня необходимо $(x-7)(x+3)\ge0$, то есть $x\le-3$ или $x\ge7$. Также знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $x^2-64\ne0$, значит, $x\ne-8,8$.
Корень находится в знаменателе, следовательно,
$5+19x-4x^2>0$, или $4x^2-19x-5<0$.
Корни соответствующего квадратного трёхчлена: $-\frac14$ и $5$, поэтому $-\frac14<x<5$.
Кроме того, $3x^2-x-4=(3x-4)(x+1)\ne0$, то есть $x\ne\frac43,-1$. Значение $-1$ и так не входит в найденный промежуток.

Ответ: 1) $(-,-8]\cup[5,+)$; 2) $(0,\frac14)$; 3) $(-,-8)\cup(-8,-3]\cup[7,8)\cup(8,+)$; 4) $(-\frac14,\frac43)\cup(\frac43,5)$.

3. Найдите область определения функции: 1) \(y=\sqrt{x^2+3x-40}\); 2) \(y=\frac{x+2}{\sqrt{3x-12x^2}}\); 3) \(y=\sqrt{x^2-4x-21}-\frac{6}{x^2-64}\); 4) \(y=\frac{x-8}{\sqrt{5+19x-4x^2}}+\frac{x-4}{3x^2-x-4}\).