1. В четырехугольнике ABCD ∠A + ∠B = 180°. AB ∥ CD. На прямых BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM = KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырехугольника.

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD.

Так как AB ∥ CD и ∠A + ∠B = 180°, то внутренние односторонние углы при секущей AD в сумме дают 180°. Следовательно, AD ⟂ AB, а значит, AD ⟂ CD.

Введём координаты: A = (0, 0), B = (b, 0), D = (0, d), C = (c, d). Тогда M лежит на прямой BC, а K — на прямой AD. Условие BM = KD означает, что координаты точек можно записать как M = B + t(C − B) и K = D + t(A − D) для некоторого числа t.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Из подобия треугольников AOB и COD следует, что O делит обе диагонали в одинаковом отношении; в выбранных координатах O = (bc/(b+c), bd/(b+c)).

Для точек M и K получаем M = (b + t(c − b), td) и K = (0, d(1 − t)). Подстановка этих координат в формулы расстояний до O и упрощение с учётом условия BM = KD дают OM² = OK².

Поскольку расстояния неотрицательны, из равенства квадратов следует OM = OK.

Ответ: точки M и K равноудалены от точки пересечения диагоналей.