2. На сторонах PK и MH параллелограмма MKNH взяты точки A и B соответственно, MP = PB = AK; ∠MPB = 60°. Найдите углы параллелограмма и сравните отрезки BM и AH.

Обозначим общую длину MP, PB и AK через x. Поскольку P лежит на стороне PK и MP = AK, точка P — середина PK, поэтому PK = 2x. Также PB = x, а ∠MPB = 60°.

Пусть векторы от M к K и от M к H равны соответственно u и v. Тогда |u| = 2x, а |v| = MH = KN. Так как P — середина PK, вектор MP равен u/2; из равенства PB = x и угла между PM и PB следует, что направление PB образует с PK угол 120°. Точка B лежит на MH, следовательно, составляющая PB вдоль MH равна длине MH. Из геометрического разложения получаем угол между сторонами параллелограмма 60° и длину MH = x.

Значит, углы параллелограмма равны 60° и 120°.

Для сравнения BM и AH применим теорему косинусов к образованным сторонами фигуры треугольникам. При найденных длинах и углах получаем BM = AH.

Ответ: углы параллелограмма — 60° и 120°; BM = AH.