3. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K, а на сторонах AB и BC — точки M и P соответственно, причем PK = MB, ∠KPC = 80°, ∠C = 50°. Докажите, что треугольник KMB — параллелограмм.

Так как ABC равнобедренный с основанием AC, то AB = BC, а углы при основании равны: ∠A = ∠C = 50°. Следовательно, ∠B = 80°.

Точки M и P лежат соответственно на AB и BC, поэтому ∠MBP = ∠ABC = 80°. По условию ∠KPB = 180° − ∠KPC − ∠BPC; поскольку B, P, C лежат на одной прямой, угол ∠BPC здесь не является отдельным углом треугольника KPB. Из данных условий нельзя однозначно вывести необходимое равенство противоположных сторон или параллельность сторон четырёхугольника KMBP: условие не задаёт положения K и M относительно концов основания и сторон достаточно для указанного вывода.

Кроме того, в формулировке выводится, что «треугольник KMB — параллелограмм», но треугольник не может быть параллелограммом. Вероятно, в условии пропущено название четырёхугольника или имеется в виду иной объект. Уточните, какой именно фигуры требуется доказать параллелограмм, и пришлите полный текст задания.