№1. В четырёхугольнике ABCD AB∥CD, BC∥AD. Биссектриса угла B пересекает сторону AD в точке M так, что AM:MD=4:1. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр 36 см.

Так как обе пары противоположных сторон параллельны, ABCD — параллелограмм. Обозначим AB=a, BC=b.

1. Биссектриса угла B делит угол между лучами BA и BC пополам. В треугольнике ABM угол ABM равен углу BMA: AM∥BC, поэтому треугольник ABM равнобедренный и AM=AB.
2. Из AM:MD=4:1 следует AD=AM+MD=\(\frac54 AM\). Значит, \(b=\frac54a\).
3. Периметр параллелограмма равен \(2(a+b)=36\), поэтому \(a+b=18\). Подставляем: \(a+\frac54a=18\), откуда \(a=8\) см и \(b=10\) см.

Ответ: AB=CD=8 см, BC=AD=10 см.