№3. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, делят его на четыре четырёхугольника одинакового периметра. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Обозначим через P, Q, R, S середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно, а через O — точку пересечения отрезков PR и QS. Четыре получившихся четырёхугольника имеют равные периметры.

1. Сравним периметры частей у вершин A и B. У них общие слагаемые PO и половины стороны AB; оставшиеся слагаемые дают AS=BQ. Поскольку S и Q — середины сторон AD и BC, получаем \(\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2}\), то есть AD=BC.
2. Сравним периметры частей у вершин B и C. После сокращения общих частей получаем BP=CR. Так как P и R — середины AB и CD, то \(\frac{AB}{2}=\frac{CD}{2}\), следовательно, AB=CD.
3. В четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон равны: AB=CD и AD=BC. По признаку параллелограмма такой четырёхугольник является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.