1. В четырёхугольнике ABCD AB ∥ CD и BC ∥ AD. Докажите, что ABCD — параллелограмм, и объясните, почему его противоположные стороны равны.

По определению, если обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны, то он является параллелограммом. Значит, ABCD — параллелограмм.

Проведём диагональ AC. Так как AB ∥ CD, то ∠BAC = ∠DCA; так как BC ∥ AD, то ∠BCA = ∠DAC. Сторона AC общая, поэтому треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: AB = CD и BC = AD.