4. В ромбе ABCD угол C равен 120°, сторона равна 6 см. Найдите меньшую диагональ ромба. Докажите, что она разбивает ромб на два равносторонних треугольника.

Соседние углы ромба supplementary, поэтому ∠A = 180° − 120° = 60°. Диагональ AC делит угол A пополам, значит ∠BAC = 30°; также она делит угол C пополам, и ∠BCA = 60°. Тогда ∠ABC = 90°.

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 6 см, а AC лежит напротив угла 30°. Следовательно, \(AC = \frac{AB}{2} = 3\) см. Это меньшая диагональ ромба.

Диагональ AC делит угол A и угол C пополам. Поэтому в треугольниках ABC и ACD углы при A и C равны 30° и 60°, а угол при B или D равен 90°. Однако эти треугольники не равносторонние: их стороны равны 3, \(3\sqrt{3}\) и 6 см. Условие о двух равносторонних треугольниках противоречит заданному углу 120° и стороне 6 см.

Ответ: меньшая диагональ равна 3 см. При указанных данных она не разбивает ромб на два равносторонних треугольника.