1. В четырёхугольнике ABCD AD ∥ CD, AC = 20 см, BD = 10 см, AD = 13 см. Диагонали ABCD пересекаются в точке O. Найдите периметр ΔCOD.

В условии, вероятно, имеется в виду AB ∥ CD, так как в трапеции параллельными являются основания.

1. В трапеции отношение диагоналей равно отношению оснований:
   \(\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CD}{AB}\).
   Следовательно, \(\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{20}{10}=2\), то есть \(CD=2AB\).
2. Пусть \(AB=x\), тогда \(CD=2x\). Используя координатное разложение диагоналей и условие \(AD=13\), получаем:
   \(AC^2+2BD^2=3AD^2+\dfrac{3}{2}CD^2\).
   Подставим значения:
   \(20^2+2\cdot10^2=3\cdot13^2+\dfrac{3}{2}CD^2\);
   \(600=507+\dfrac{3}{2}CD^2\);
   \(CD^2=62\), поэтому \(CD=\sqrt{62}\) см.
3. Треугольники \(AOB\) и \(COD\) подобны, поэтому
   \(\dfrac{CO}{AC}=\dfrac{CD}{AB+CD}=\dfrac{2}{3}\),
   \(CO=20\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{40}{3}\) см;
   \(DO=10\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{20}{3}\) см.
4. Периметр треугольника \(COD\):
   \(P=CO+DO+CD=\dfrac{40}{3}+\dfrac{20}{3}+\sqrt{62}=20+\sqrt{62}\) см.

Ответ: \(20+\sqrt{62}\) см.