3. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC, причём точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Пусть точка O — середина отрезка BD и центр окружности с диаметром AC.

1. Так как O — центр окружности с диаметром AC, то точки A и C лежат на этой окружности. Поэтому \(OA=OC\).
2. Из условия O — середина BD, следовательно, \(OB=OD\).
3. Таким образом, диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.
4. По признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.