1. В четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам: AO = OC, BO = OD. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. По условию AO = OC и BO = OD. Углы AOB и COD — вертикальные, поэтому они равны.

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, соответствующие углы OAB и OCD равны, а значит, AB ∥ CD.

Аналогично, треугольники AOD и COB равны: AO = OC, DO = OB, а углы AOD и COB вертикальные. Поэтому AD ∥ BC.

В четырёхугольнике обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.