4. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, ∠AOB = 60°, сторона AB = 4 см. Найдите диагональ AC. Докажите, что треугольник AOB — равносторонний.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому AO = BO. Треугольник AOB равнобедренный с вершиной при O.

Угол при вершине равен 60°, значит, каждый угол при основании равен (180° − 60°) : 2 = 60°. Все углы треугольника равны 60°, поэтому треугольник AOB равносторонний.

Следовательно, AO = AB = 4 см. Так как O — середина диагонали AC, AC = 2AO = 2 · 4 = 8 см.

Ответ: AC = 8 см; треугольник AOB равносторонний.