1. В классе учатся 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 человек — кружок по математике. Определите, какие утверждения следуют из данных, и выясните их истинность или ложность. К каждому приведите противоположное утверждение: 1) нет ученика, который не посещает ни кружок по истории, ни кружок по математике; 2) найдутся хотя бы два человека, которые посещают оба кружка; 3) если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике; 4) не найдётся 11 человек, которые посещают оба кружка.

Обозначим число учеников, посещающих оба кружка, через x. По принципу включения-исключения x не меньше 13 + 10 − 20 = 3, а также не больше 10. Значит, оба кружка посещают от 3 до 10 учеников.

1. Утверждение о том, что все посещают хотя бы один кружок, не следует: число посещающих хотя бы один кружок может быть от 13 до 20. Оно может быть меньше 20. Утверждение не является обязательно истинным. Противоположное: «Найдётся ученик, который не посещает ни один из кружков».

2. Утверждение истинно: оба кружка посещают как минимум 3 человека, следовательно, как минимум два. Противоположное: «Оба кружка посещает не более одного человека».

3. Утверждение не следует из данных: среди 7 не посещающих исторический кружок могут быть ученики, не посещающие и математический. Противоположное: «Найдётся ученик, который не посещает кружок по истории и не ходит на кружок по математике».

4. Утверждение истинно: оба кружка посещают не более 10 человек, поэтому 11 таких учеников быть не может. Противоположное: «Найдутся 11 человек, которые посещают оба кружка».