1. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ заданы три точки: M — середина ребра AA₁, N — середина ребра CC₁, K — точка на ребре B₁C₁ такая, что B₁K : KC₁ = 1 : 2. Построй сечение куба плоскостью MNK методом следов. Укажи вид полученного многоугольника-сечения.

Возьмём куб с координатами A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), а верхние вершины расположим на высоте 1. Тогда M(0; 0; 1/2), N(1; 1; 1/2), K(1; 1/3; 1).

Плоскость MNK имеет уравнение 3x − 3y − 4z + 2 = 0. На гранях куба её следы проходят через следующие точки: M и точку U на ребре DC, где DU : UC = 1 : 2; U и N; N и K; K и точку V на ребре A₁B₁, где A₁V : VB₁ = 2 : 1; V и M. Значит, вершины сечения идут в порядке M–U–N–K–V.

Ответ: пятиугольник MUNKV.