3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (основание — квадрат ABCD) заданы точки: X на ребре SA такая, что SX : XA = 3 : 1, Y — на ребре SD, причём SY : YD = 1 : 3, и точка Z на ребре BC такая, что BZ : ZC = 1 : 1. Построй сечение пирамиды плоскостью XYZ методом следов. Укажи, какой многоугольник получился в сечении.

Пусть основание — квадрат A(1; 1; 0), B(−1; 1; 0), C(−1; −1; 0), D(1; −1; 0), а вершина S(0; 0; 1). Тогда X=(3/4; 3/4; 1/4), Y=(1/4; −3/4; 3/4), Z=(−1; 0; 0). Плоскость XYZ имеет уравнение 4x − 4y + 11z = 2.

На грани SAB след плоскости соединяет X с точкой E на ребре AB, где AE : EB = 1 : 2. На основании след проходит от E через Z до точки F на ребре CD, где CF : FD = 2 : 1. На грани SCD след соединяет F с Y, а на грани SDA — Y с X. Итак, вершины сечения идут в порядке X–E–Z–F–Y.

Ответ: в сечении получился пятиугольник XEZFY.