1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми: а) AC и B₁D₁; б) AC и BB₁; в) AC и BC₁.

Пусть ребро куба равно a. Рассмотрим направления прямых.

1. а) Диагонали AC и B₁D₁ параллельны диагоналям квадрата основания и верхней грани соответственно. Эти диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому угол равен 90°.
2. б) BB₁ перпендикулярна плоскости основания ABCD, а AC лежит в этой плоскости. Значит, угол равен 90°.
3. в) Перенесём BC₁ параллельно так, чтобы его начало совпало с A. Получим вектор с составляющими вдоль AB и AA₁. В координатах направляющие векторы можно записать как AC = (a, a, 0) и BC₁ = (0, a, a). Тогда cos угла = (AC · BC₁)/(|AC||BC₁|) = a²/(a√2 · a√2) = 1/2. Следовательно, угол равен 60°.

Ответ: а) 90°; б) 90°; в) 60°.