1. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого ∠ADC пересекает сторону BC в точке E под ∠DEC = 60° и делит сторону на отрезки BE = 3 см и CE = 4 см. Найдите: а) углы параллелограмма; б) периметр параллелограмма.

Так как точки B, E, C лежат на одной прямой, углы ∠DEB и ∠DEC смежные, поэтому ∠DEB = 180° − 60° = 120°.

Поскольку DE — биссектриса угла ADC, ∠BDE = ∠EDC. В треугольнике DEC угол при C равен углу параллелограмма при C, а ∠EDC — половина угла D. Из параллельности AD ∥ BC следует, что ∠DEC равен углу между DE и AD. Следовательно, угол между DE и AD равен 60°, а поскольку DE делит угол ADC пополам, ∠ADC = 120°.

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°: ∠DAB = ∠BCD = 60°. Таким образом, углы параллелограмма равны 60° и 120°.

Так как AD ∥ BC, угол между DE и AD равен ∠DEC = 60°. В треугольнике ADE биссектриса DE образует при D угол 60°, а угол при A между AD и AB равен 60°. Получаем равносторонний треугольник ADE, поэтому AD = AE. Но для периметра достаточно найти сторону BC: BC = BE + EC = 3 + 4 = 7 см, значит AD = 7 см. В условии требуется длина стороны параллелограмма, и AB можно найти по треугольнику BDE: ∠DBE = 60° (AB ∥ DE?); однако из заданных углов и отрезков следует противоречие: поскольку ∠DEC = 60°, ∠DEB = 120°, тогда в треугольнике BDE углы при D и E равны 60° и 120° соответственно, что невозможно для биссектрисы при указанной геометрии.

Уточнение: при обычном обозначении вершин параллелограмма и E на стороне BC, условия несовместимы. Действительно, ∠DEC = 60° и ∠DEB = 120°. Поскольку ∠ADC — тупой, а DE его биссектриса, ∠BDE < 90°. В треугольнике BDE угол при B тогда равен 180° − 120° − ∠BDE < 0°, что невозможно. Следовательно, такой параллелограмм не существует, и его периметр определить нельзя.