1. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 140°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как в параллелограмме AB ∥ CD, угол между прямыми AC и AB равен углу между AC и CD. Угол между лучами CA и CD равен 140°, поэтому острый угол между диагональю AC и стороной AB равен 40°.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть AB = a, тогда AC = 2a. По теореме синусов:

\(\dfrac{BC}{\sin 40^\circ}=\dfrac{AC}{\sin 100^\circ}\), поэтому \(BC=\dfrac{2a\sin 40^\circ}{\sin 100^\circ}\).

Обозначим через \(\varphi\) угол между диагоналями. В треугольнике, образованном векторами сторон AB и BC, диагонали параллелограмма имеют направления суммы и разности этих векторов. Из соотношения длин и угла между сторонами получается \(\tan\varphi=\dfrac{2\sin40^\circ}{1+2\cos40^\circ}\), откуда \(\varphi\approx 34.6^\circ\).

Ответ: примерно 34,6°.