1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M — такая точка на стороне AD, что AM = 1/2 MD. Выразите через векторы x = →AD, y = →AB следующие векторы: б) →AM, →MC, →BM, →OM.

Так как AM = 1/2 MD, отношение AM:MD равно 1:2. Поэтому точка M делит сторону AD в отношении 1:2, считая от A, и \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{x}\).

В параллелограмме \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\vec{y}\), следовательно, \(\overrightarrow{AC}=\vec{x}+\vec{y}\).

1. \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{x}\).
2. \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}=\vec{x}+\vec{y}-\frac{1}{3}\vec{x}=\frac{2}{3}\vec{x}+\vec{y}\).
3. \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=-\vec{y}+\frac{1}{3}\vec{x}=\frac{1}{3}\vec{x}-\vec{y}\).
4. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\vec{x}+\vec{y})\). Тогда \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AO}=\frac{1}{3}\vec{x}-\frac{1}{2}(\vec{x}+\vec{y})=-\frac{1}{6}\vec{x}-\frac{1}{2}\vec{y}\).

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{x};\;\overrightarrow{MC}=\frac{2}{3}\vec{x}+\vec{y};\;\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\vec{x}-\vec{y};\;\overrightarrow{OM}=-\frac{1}{6}\vec{x}-\frac{1}{2}\vec{y}\).