№1. В параллелограмме ABCD отношение смежных сторон равно 1 : 2. Середина M большей стороны AB соединена с вершинами C и D. Докажите, что угол CMD — прямой.

Пусть меньшая сторона параллелограмма равна a, тогда большая сторона AB равна 2a. Обозначим вектор меньшей стороны через \(\vec{AD}=\vec b\), где \(|\vec b|=a\), а \(\vec{AB}=\vec u\), где \(|\vec u|=2a\).

Поскольку \(M\) — середина \(AB\), имеем \(\vec{AM}=\frac12\vec u\). Для параллелограмма \(\vec{AC}=\vec u+\vec b\), поэтому

\[\vec{MC}=\vec{AC}-\vec{AM}=\frac12\vec u+\vec b,\qquad \vec{MD}=\vec{AD}-\vec{AM}=\vec b-\frac12\vec u.\]

Скалярное произведение этих векторов:

\[\vec{MC}\cdot\vec{MD}=\left(\vec b+\frac12\vec u\right)\cdot\left(\vec b-\frac12\vec u\right)=|\vec b|^2-\frac14|\vec u|^2=a^2-\frac14(2a)^2=0.\]

Значит, \(MC\perp MD\), поэтому угол \(CMD\) прямой.