1. В параллелограмме КМЕР проведена биссектриса угла К, которая пересекает сторону МЕ в точке О. Найти: а) сторону КР, если МО = 10 см, а периметр параллелограмма КМЕР равен 100 см; б) периметр параллелограмма КМЕР, если ЕР = 16 см, МЕ = 14 см.

а) Обозначим стороны параллелограмма: КМ = ЕР = a, МЕ = КР = b. Из периметра получаем a + b = 50.

Поскольку KO — биссектриса, её направление пропорционально сумме единичных направлений сторон КМ и КР. Если угол между сторонами равен α, то пересечение биссектрисы с ME даёт MO = a · tan(α/2). Следовательно, значение MO = 10 без величины угла α не определяет a и b однозначно: известна только сумма a + b = 50.

Например, при a = 20 и b = 30 можно подобрать угол α так, чтобы MO = 10; при других значениях a и b с той же суммой также возможны соответствующие углы. Поэтому сторону КР определить нельзя: в условии не хватает дополнительного размера или угла.

б) В параллелограмме противоположные стороны равны: КМ = ЕР = 16 см, КР = МЕ = 14 см.

P = 2 · (16 + 14) = 60 см.

Ответ: а) данных недостаточно; б) 60 см.