1. В прямоугольнике ABCD точки M и K — середины сторон AB и AD соответственно. На прямой AC взята точка P, на прямой BD — точка E, MP ⟂ AC, KE ⟂ BD. Известно, что 4KE = AD. Найдите отношения сторон AP : PC.

1. Обозначим AB = w, AD = h. Выберем координаты: A(0; 0), B(w; 0), D(0; h), C(w; h). Тогда M(w/2; 0), K(0; h/2).
2. Расстояние от K до прямой BD равно KE. Уравнение BD: x/w + y/h = 1, поэтому KE = (1/2) / √(1/w² + 1/h²) = wh / (2√(w² + h²)). По условию KE = h/4. Отсюда √(w² + h²) = 2w, значит h² = 3w².
3. Пусть P делит диагональ AC в отношении AP:PC = t:(1 − t). Поскольку MP ⟂ AC, точка P является проекцией M на AC, и t = (M · AC) / |AC|² = (w²/2)/(w² + h²) = 1/8.
4. Тогда AP:PC = 1/8:7/8 = 1:7.

Ответ: AP:PC = 1:7.