2. В ромбе ABCD угол B тупой. На стороне AD взята точка K, BK ⟂ AD. Прямые BK и AC пересекаются в точке O, AC = 2BK. Найдите угол AOB.

1. Пусть сторона ромба равна a, а угол DAB равен α. Так как угол B тупой, α острый. Высота BK = a sin α, а диагональ AC = 2a cos(α/2).
2. Из условия AC = 2BK получаем 2a cos(α/2) = 2a sin α. Используя sin α = 2 sin(α/2) cos(α/2), находим sin(α/2) = 1/2, поэтому α = 60°.
3. Выберем координаты A(0; 0), D(a; 0), B(a/2; √3a/2), C(3a/2; √3a/2). Прямая BK вертикальна, а диагональ AC пересекает её в точке O(a/2; √3a/6).
4. Векторы OA = (−a/2; −√3a/6) и OB = (0; √3a/3) имеют равные длины, а их скалярное произведение равно −a²/6. Поэтому cos ∠AOB = −1/2.

Ответ: ∠AOB = 120°.