1. В прямоугольнике BMXN точка O является точкой пересечения диагоналей. ∠BNM = 30°, MN = 6 см. Найдите углы и периметр треугольника BOM.

В прямоугольнике угол BMN прямой, поэтому треугольник BMN — прямоугольный, а BN — его гипотенуза.

1. Найдём катет BM: BM = MN · tg 30° = 6 · 1/√3 = 2√3 см.
2. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому BO = OM = BN/2. По теореме Пифагора BN = √(6² + (2√3)²) = 4√3 см, следовательно, BO = OM = 2√3 см.
3. Получается, BM = BO = OM. Значит, треугольник BOM равносторонний, и каждый его угол равен 60°.
4. Периметр: P = 3 · 2√3 = 6√3 см.

Ответ: ∠BOM = ∠OBM = ∠BMO = 60°; P = 6√3 см.