1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁: CA₁ = 11 см, C₁D₁ = 2 см, A₁D₁ = 6 см. Найти длину ребра CC₁ и синус угла между диагональю CA₁ и плоскостью ABCD.

Обозначим длину ребра CC₁ через x.

1. Диагональ основания: AC² = A₁D₁² + C₁D₁² = 6² + 2² = 40.
2. В прямоугольном треугольнике ACA₁: CA₁² = AC² + CC₁².
3. Подставим значения: 11² = 40 + x², откуда x² = 81, поэтому x = 9 см.
4. Синус угла между прямой CA₁ и плоскостью ABCD равен отношению перпендикулярной составляющей к длине диагонали: sin α = CC₁ / CA₁ = 9 / 11.

Ответ: CC₁ = 9 см; sin α = 9/11.