3. В треугольнике ABC: BC = 15 см, AB = 13 см, AC = 4 см. Через сторону AC проведена плоскость α, составляющая с плоскостью данного треугольника угол 30°. Найти расстояние от вершины B до плоскости α.

Пусть BH — высота треугольника ABC, проведённая к стороне AC. Сначала найдём её длину.

1. Полупериметр треугольника: p = (15 + 13 + 4) / 2 = 16 см.
2. По формуле Герона площадь треугольника: S = √(16 · (16 − 15) · (16 − 13) · (16 − 4)) = √(16 · 1 · 3 · 12) = 24 см².
3. Из формулы площади S = 1/2 · AC · BH получаем: BH = 2S / AC = 48 / 4 = 12 см.
4. Расстояние от точки B до плоскости α равно произведению высоты BH на синус угла между плоскостями: d = BH · sin 30° = 12 · 1/2 = 6 см.

Ответ: 6 см.