1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ DB₁ = 21 см, CD = 16 см, B₁C₁ = 11 см. Найти длину ребра BB₁ и синус угла между диагональю DB₁ и плоскостью ABCD.

1. В основании прямоугольник ABCD. Поэтому BC = B₁C₁ = 11 см, а CD = 16 см.

2. Диагональ DB₁, высота BB₁ и диагональ основания DB образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора для основания: \(DB^2=CD^2+BC^2=16^2+11^2=377\).

3. Тогда \(BB_1^2=DB_1^2-DB^2=21^2-377=64\), откуда \(BB_1=8\) см.

4. Синус угла между прямой DB₁ и плоскостью ABCD равен отношению перпендикулярной составляющей BB₁ к длине DB₁: \(\sin\varphi=\frac{BB_1}{DB_1}=\frac{8}{21}\).

Ответ: BB₁ = 8 см; \(\sin\varphi=\frac{8}{21}\).