3. Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см. Плоскость α, проходящая через катет, образует с плоскостью треугольника угол 30°. Найти длину проекции гипотенузы на плоскость α.

1. Обозначим общий катет, лежащий в плоскости α, через AB, а второй катет — через AC. Тогда \(AB=AC=4\) см и \(AB\perp AC\). Проекция катета AB на α совпадает с AB.

2. Плоскости пересекаются по прямой AB. Поскольку AC перпендикулярен AB, его проекция на α перпендикулярна AB и имеет длину \(AC\cos 30^\circ=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\) см.

3. Проекция гипотенузы BC равна отрезку между проекциями B и C. В прямоугольном треугольнике, образованном этой проекцией, катеты равны AB = 4 см и \(2\sqrt{3}\) см. Поэтому её длина равна \(\sqrt{4^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{7}\) см.