1. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 16, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 8√3. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим второй катет BC через x. Гипотенуза равна AB = √(16² + x²).

Высота к гипотенузе выражается формулой CH = AC · BC / AB:

8√3 = 16x / √(256 + x²).

Возводим в квадрат: 192(256 + x²) = 256x², откуда x² = 768 и BC = 16√3. Тогда AB = √(16² + (16√3)²) = 32.

Синус угла B равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB:

Ответ: sin ∠ABC = 16/32 = 1/2.