2. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ=2,BC=8. Найдите АК.

Решение:

По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей.

В данном случае, точка А — внешняя точка, АК — касательная, ABC — секущая.

Следовательно, \( AK^2 = AB AC \).

Известно, что \( AB = 2 \) и \( BC = 8 \).

Тогда отрезок секущей \( AC = AB + BC = 2 + 8 = 10 \).

Подставим значения в формулу:

\[ AK^2 = 2 10 \]

\[ AK^2 = 20 \]

Теперь найдём длину отрезка АК, извлекая квадратный корень:

\[ AK = √{20} = √{4 5} = 2√{5} \]

Ответ: \( 2√{5} \).