1. В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность. Найдите гипотенузу этого треугольника, если расстояния от центра окружности до точек B и C равны 7 и 9.

Обозначим центр вписанной окружности через I. Так как ∠A = 90°, то ∠BIC = 90° + ∠A/2 = 135°.

По теореме косинусов в треугольнике BIC:

\(BC^2 = IB^2 + IC^2 - 2\cdot IB\cdot IC\cos 135^\circ\).

Подставим данные: \(BC^2 = 7^2 + 9^2 - 2\cdot7\cdot9\cdot(-\frac{\sqrt2}{2}) = 130 + 63\sqrt2\).

Ответ: \(BC=\sqrt{130+63\sqrt2}\).