3. В трапеции ABCD: основание BC = 7, боковая сторона CD = 8, ∠BAD = 45° и ∠BCD = 105°. Найдите среднюю линию трапеции.

Поскольку основания AD и BC параллельны, высота трапеции равна \(h=CD\sin 105^\circ=8\sin 75^\circ\).

Горизонтальная проекция стороны CD на направление основания равна \(8\cos 75^\circ\). Из угла ∠BAD = 45° следует, что горизонтальная проекция стороны AB равна высоте h.

Следовательно, верхнее основание длиннее нижнего на \(h-8\cos75^\circ\), поэтому \(AD=7+8(\sin75^\circ-\cos75^\circ)=7+4\sqrt2\).

Средняя линия равна полусумме оснований:

\(m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{(7+4\sqrt2)+7}{2}=7+2\sqrt2\).

Ответ: \(7+2\sqrt2\).