1. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 2 см так, что один из получившихся отрезков касательных равен 4 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 24 см.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°. В него вписана окружность с центром O и радиусом r = 2 см. Отрезки касательных, проведенные из вершины C, равны радиусу, т.е. CD = CE = r = 2 см. Отрезки касательных, проведенные из вершины B, равны BF = BE = 4 см. Отрезки касательных, проведенные из вершины A, равны AG = AF.

Стороны треугольника:

• BC = CE + EB = 2 + 4 = 6 см.
• AC = CD + DA = 2 + AG.
• AB = AF + FB = AG + 4.

Периметр треугольника P = AB + BC + AC = (AG + 4) + 6 + (2 + AG) = 2AG + 12.

По условию, периметр равен 24 см:

2AG + 12 = 24

2AG = 12

AG = 6 см.

Теперь найдем стороны:

• BC = 6 см.
• AC = 2 + 6 = 8 см.
• AB = 6 + 4 = 10 см.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным по теореме Пифагора:

AB² = 10² = 100

BC² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Так как AB² = BC² + AC², треугольник прямоугольный.

Ответ: Стороны треугольника равны 6 см, 8 см, 10 см.